Faire de la trigo autour d’un gâteau – Los viernes cocina Marta

Los viernes cocina Marta

La trigonométrie est souvent la hantise des lycéens. Il est vrai qu’elle est mal enseignée, mal introduite. Pourtant je connais une façon d’en parler qui devrait ravir tout le monde…Combien de fois ai-je entendu quand j’étais au lycée ou quand je donnais des cours de maths “je déteste la trigonométrie ! j’y comprends rien !”. Trop de formules à apprendre ? Une mauvaise approche de cette branche des mathématiques ? Peu importent les raisons, mon but ici n’est pas de les trouver, mais de vous montrer que la trigo ça peut être marrant et extrêmement utile pour briller en société.Imaginons nous en famille. Nous sommes six. Maman a préparé un beau gâteau qu’elle s’apprête à découper en six parts égales. Intuitivement, elle sait que six c’est deux fois trois. Donc le plus simple est de le couper en deux puis de couper les deux parts formées en trois. Elle marque donc le centre du gâteau avec la pointe du couteau, et coupe le gâteau en deux par son diamètre.

Découpe du gâteau en 6 parts égales

Jusque là tout va bien. Cependant, au moment de couper chacune des deux parts en trois elle se retrouve embêtée ne sachant comment mesurer facilement le “tiers de la moitié”. Et c’est là que la trigonométrie va lui permettre de briller devant toute sa famille. Voici comment…Normalement, si elle a bien fait la découpe en deux parts égales, chacune des deux parts représente un secteur angulaire de 180°. Le tiers de cet angle est donc de 60°. Donc son objectif est de réussir à couper les deux moitiés du gâteau en trois parts de 60° chacune. Subitement, elle se rappelle ses cours de trigonométrie de seconde qu’elle avait toujours crus inutiles. Elle se souvient que le cosinus de 60° est strictement égal à 1/2 : cos(60°)=1/2. Derrière cette égalité se cache quelque chose de très simple en réalité. Par définition, la fonction cosinus est la valeur algébrique de la projection orthogonale sur l’axe des abscisses d’un point du cercle unité (de rayon 1). Bon ok, c’est hyper abstrait.Transposons ça à notre gâteau en supposant que son rayon vaut 1. L’axe des abscisses ici n’est rien d’autre que la droite (AB) qui a servi à couper le gâteau en deux. L’origine de cette axe est le centre du gâteau, le point 0. Le point que l’on cherche est celui situé sur la circonférence du gâteau et formant un secteur angulaire de 60° avec le rayon du gâteau [OA]. Appelons ce point P. La projection orthogonale de P est le point P’ situé à l’intersection du rayon du gâteau (le segment [OA]) et de la droite perpendiculaire à ce diamètre et passant par P (la droite (PP’)). La relation “cos(60°)=1/2” signifie tout simplement que la distance OP’ est égale à la moitié de la distance OA. P’ est donc situé exactement à la moitié du rayon du gâteau !

cos(60°)=1/2

Cette propriété si elle est reformulée nous donne un moyen très simple de trouver un repère afin de couper une moitié de gâteau en exactement trois parts égales. En effet, avec la pointe du couteau (sans couper) Maman doit partir du centre du gâteau (le point 0), parcourir vers la droite la moitié du rayon (elle se retrouve en P’), remonter perpendiculairement au rayon jusqu’à la périphérie du gâteau (elle se retrouve en P). Le point obtenu est celui qui définit exactement un angle de 60°, soit le tiers de la moitié du gâteau.

Deux parts de gâteaux coupé en 6

A partir de ce point elle peut découper le gâteau selon un autre diamètre, en passant par le centre du gâteau, pour obtenir deux parts égales de la bonne taille. Il suffit ensuite de recommencer sur les deux morceaux restants pour obtenir six belles parts de la même taille.Et si autour de la table on était 5 ? Facile ! Il suffit de couper un premier rayon du gâteau. Ensuite il faut s’aider du cosinus de 72° (le cinquième du cercle). On a cos(72°)=0.309. Donc en prenant un peu moins du tiers du rayon du gâteau en partant du centre, on obtient le point P’. Une fois ce point obtenu, on remonte perpendiculairement au rayon pour avoir le point P. Ce dernier nous donne le bon angle de découpe pour obtenir pile poil un cinquième du gâteau. Ensuite on recommence 4 fois l’opération sur les quatre cinquième restant du gâteau.

Découpage en cinq

C’est pareil pour couper le gâteau en 7, 9, 10, 11 ou 13. Il suffit de connaitre les cosinus des angles correspondants. Dans le tableau suivant sont regroupées les valeurs des cosinus et les pourcentages approximatifs du rayon qu’ils représentent pour couper le gâteau en 5, 6, 7, 9, 10, 11 ou 13 parts.

Nb de parts Angle de la part Cosinus % du rayon
5 72° 0,309 30%
6 60° 1/2 50%
7 52° 0,616 60%
9 40° 0,766 75%
10 36° 0,809 80%
11 33° 0,839 85%
13 28° 0,882 90%

Au delà de 10, on commence à ne plus être très précis. L’erreur commise sur la première part (à moins de se balader avec une calculatrice et un rapporteur, au cas où…) s’accumule avec l’erreur sur les parts suivantes. On a généralement une surprise sur la taille de la dernière part. C’est à peu près efficace jusqu’à 9 parts. Après je conseille plutôt de diviser en 12 ou d’acheter deux gâteaux :) . Pour diviser en 12, c’est très simple, il suffit de diviser une première fois en 6 en suivant la méthode expliquée ci-dessus et ensuite de recouper en deux chaque part obtenue.Avec tout ça, vous allez pouvoir briller en famille ou en société à chaque fois qu’il faudra couper un gâteau. Cependant, méfiez-vous, le public habitué aura vite fait de vous solliciter à chaque fois qu’il y aura un gâteau à couper. Alors, le mieux est de leur transmettre cette méthode pour qu’ils puissent se débrouiller par eux-mêmes.Allez, plus efficace que la théorie, place à la pratique sur un magnifique gâteau au chocolat :)

Visto en GOUTTE DE SCIENCE

Marta Macho-Stadler
Universidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea
Facultad de Ciencia y Tecnología
Departamento de Matemáticas
Barrio Sarriena s/n
48940 Leioa (SPAIN)
Tel: +34-946015352
Fax: +34-946012516
e-mail: marta.macho@ehu.es
URL: http://www.ehu.es/~mtwmastm/

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